塵封80年的函數成了聯繫數論代數和絃理論的關鍵

通過神秘的“魔羣月光猜想”，研究者正努力探究數論、代數和絃理論之間不可思議的聯繫。

1978年，數學家約翰·麥凱（John McKay）注意到了某些像是奇怪巧合般的現象。當時，他正在研究一類神秘難解的單羣，並試圖探究其結構的不同表達式——這類散在單羣有着所有已知散在單羣中最大的階數，數學家們稱它爲“魔羣”（Monster Group），他相信“魔羣”中隱藏着一些新的對稱規律。不過，那時的數學家們並不能確定“魔羣”是否真實存在，但是他們知道，如果真能找到符合條件的“魔羣”，它們一定有着特定的階數，最小的階數是1，隨後是196883。

麥凱當時正在加拿大蒙特利爾的康考迪亞大學，有一天他碰巧看到一篇有關完全不同領域的數學論文，論文中討論的是數論中的基本對象之一——J函數。麥凱敏銳地注意到J函數的第一個重要係數是196884，他馬上想到這是魔羣前兩位特殊階數（1和196883）的數量之和。

不過對於這個發現，大多數數學家都認爲只是偶然現象，畢竟魔羣和J函數簡直就是風馬牛不相及的兩個事物。但凡事總有例外——數學家約翰·湯普森（John Thompson）注意到了魔羣和J函數之間奇妙的聯繫，並將這個發現又向前推進了一步。湯普森教授現在正在美國佛羅里達大學，他是1970年菲爾茲獎（Fields Medal）的獲得者。湯普森教授發現了J函數的第二個係數：21493760，居然是魔羣前三個特殊階數的數值和:1 + 196883 + 21296876。到了這個地步，人們不禁懷疑，J函數在某種程度上可以“約束”捉摸不定的魔羣結構。

菲爾茲獎，正式名稱爲國際傑出數學發現獎（The International Medals for Outstanding Discoveries in Mathematics），每四年評選2~4名有卓越貢獻且年齡不超過40歲的數學家，被認爲是年輕數學家的最高榮譽，和阿貝爾獎均被稱爲數學界的諾貝爾獎。

很快，另兩名數學家又證實了許多類似的數學上的聯繫，這讓數學家們意識到這些現象絕非單純的巧合。1979年，在一篇名爲《魔羣月光》（Monstrous Moonshine）的論文裡，約翰·康威（John Conway，現爲普林斯頓大學數學教授）和西蒙·諾頓（Simon Norton，劍橋大學數學教授）一同推測，這些數學上的相關性，必定來自於魔羣與J函數在更深層次上的聯繫。“他們將這個猜想命名爲‘月光’，不是因爲這個猜想富有浪漫色彩，而是指這個猜想是那麼地可望而不可即。”德國馬普數學研究所主任唐·扎吉爾（Don Zagier）這麼說道，“在當時看來，這個猜想簡直就是空談和妄想，指望有人能證明它不過是一廂情願罷了。”

實際上就連構建魔羣本身，花去的時間也遠比數學家們所計劃的長得多，不過數學家們給自己找到了一個非常好的藉口：魔羣中包含的元素數目超過了10的53次方，這個數字比地球上所有原子的1000倍還要多。在1992年，也就是密歇根大學的羅伯特·格里斯（Robert Griess）構建出魔羣的十週年之際，加州大學伯克利分校數學系教授理查·博赫茲（Richard Borcherds）終於揭開了過去那個遙不可及的“月光”幻想的神秘面紗，並憑此獲得了1998年的菲爾茲獎。博赫茲證實，在魔羣和J函數這兩個完全不同的數學領域之間確實存在着一個連接的橋樑，這個橋樑可能會讓你有些驚訝，它的名字是：弦理論。這個與常識相悖的理論告訴我們，宇宙中存在着許多微小的隱藏維度，微小到人們根本無法直接探測到它們；而在這些維度之中存在着“弦”，這些弦的振動能產生我們在宏觀尺度下觀察到的物理現象。

博赫茲教授的發現在純粹數學（專門研究數學本身，不以應用爲目的的學問）領域引發了一場革命，開創了領域中一個全新的分支——廣義卡茨-穆迪代數（generalized Kac-Moody algebras）。只不過從弦理論的角度來看，這些發現不過是一潭無關大局的死水罷了。聯繫着J函數和魔羣的24維弦理論模型與弦理論真正的研究熱點相距甚遠。“雖然我承認從數學的角度來看，發現了兩者（J函數和魔羣）間的聯繫紐帶或許是令人振奮的，但是對大多數物理學家而言，這個發現就像是弦理論中一個毫不起眼的犄角旮旯。”斯坦福大學的弦理論物理學家沙米特·卡赫魯（Shamit Kachru）這麼告訴我們。

然而令人欣喜的是，現今“魔羣月光”正在經歷一場復興革命，人們相信它的深處蘊藏着最終能夠幫助弦理論研究的啓示。在過去的五年內，從類似麥凱的研究起步，數學家們和物理學家們漸漸察覺到，象徵着魔羣和J函數聯繫的猜想——“魔羣月光”僅僅只是整個故事的開始。

2015年，研究者在論文預印本網站arxiv.org上發表了一篇論文，展示了一系列被他們稱爲“伴影月光猜想”（Umbral moonshine conjecture，構想於2012年）的數學證據。在這篇論文中，研究者提出在“魔羣月光猜想”（魔羣和J函數之間存在聯繫）之外，還存在着其他23種不同的“月光猜想”：即在對稱羣的階數和一些特殊函數的係數之間，存在着原理未知的奇妙對應（如果你不能理解階數和係數的關係，看下圖）。其實，這些新加入的“月光猜想”中的函數，早就出現在某位數學史上難得一見的天才的一封信裡。這封頗有先見之明的信件早已遙遙領先其所處時代，就算再往後推半個世紀，“月光猜想”也還只是數學家們腦海中驚鴻一瞥的念頭。

以魔羣月光爲例，上面那個是J函數的展開式，下面這個圖等號的左邊是魔羣的階數，右邊是一系列包含J函數展開的係數的算式。簡言之，魔羣的階數可以用一系列J函數係數的運算式來表示，這兩者間有關係的猜想被稱爲“魔羣月光猜想”。其他的類似的對稱羣階數和函數係數之間的關係被稱爲其他名字的“月光猜想”。

新找到的23種“月光猜想”似乎到處都交織着弦理論中最核心的結構之一——一種被稱爲“K3曲面”的四維實流形。“該曲面與‘伴影月光猜想’的緊密聯繫暗示着在這些曲面中存在着某些隱藏的對稱性。”來自阿姆斯特丹大學和法國國家科學研究中心的數學家、理論物理學家程之寧（Miranda Cheng）這麼說道，她與美國凱斯西儲大學數學家約翰·鄧肯（John Duncan）和芝加哥大學物理學家傑弗裡·哈維（Jeffery Harvey）一同最先提出“伴影月光猜想”，“這些發現有着非常重要的意義，我們需要更深入地去理解它們。”她接着補充。

流形，是局部具有歐幾里得空間（有限維實內積空間）性質的空間，是歐幾里得空間中的曲線、曲面等概念的推廣。

對稱性，此處的對稱性指數學意義上的對稱性，與日常用語中對稱性不同。

這些新發表的理論證據有力地表明，這23個新發現的月光猜想必定有其對應的弦理論模型，而這些模型將會幫助我們簡化“月光猜想”並理解其錯綜複雜的相關性。可惜的是，現有的證據還並不能真正構建出相關的弦論模型，只是給物理學家們留下了一個撩人的誘惑。“等到我們真正弄懂了‘月光猜想’的那天，它就會以物理學的形式呈現在我們面前。”鄧肯說。

魔羣月光

任何已知圖形的對稱性中都暗含一種天然的算術特性。舉例來說，假設我們將一個正方形旋轉90度後水平翻折，那麼我們得到的圖形與我們直接沿對角線翻折原圖形是一樣的——也即是說，“90度旋轉+水平翻折=沿對角線翻折”。19世紀，數學家們意識到他們可以將這種類似的算法抽象爲“羣”（group）的代數概念。單一的抽象羣能夠表徵多種不同形狀的圖形的對稱性，這讓數學家們可以見微知著，從一個小點出發理解不同圖形的共性。

【圖注】正方形旋轉90度後水平翻折與直接沿對角線翻折效果一致。即90度旋轉+水平翻折=沿對角線翻折

在整個20世紀的大多數時間裡，數學家們都致力於給所有能找到的“羣”分類。而在這個過程中，他們漸漸發現了一些奇怪的現象：儘管大多數簡單有限羣都符合自然分類，但是有26個“怪胎”卻與整體的分類法格格不入，它們被稱爲散在單羣。而在這26個“怪胎”中最大的、也是最晚才被科學家們發現的，就是魔羣。

有限單羣的分類是代數學裡的一個巨大的工程。有關的文章大多發表於1955年至2004年之間，目的在於將所有的有限簡單羣都給清楚地分類。這項工程總計約有100位作者在500篇期刊文章中寫下了上萬頁的文字，詳見《環球科學》2015年8月號《拯救宇宙中最宏偉的定理》。

要講述這個“魔羣月光”的故事，顯然只有魔羣並不夠——故事還需要第二個主角：J函數。在麥凱偶然發現魔羣和J函數間存在聯繫（約40年前）之前，人們壓根兒沒想到這兩者之間會有什麼關係。J函數屬於一類特殊的函數（模函數），這類函數的圖像有着類似於荷蘭知名版畫藝術家莫里茨·埃舍爾（M. C. Escher）所畫的天使與魔鬼鑲嵌圖的重複樣式：在這種重複樣式裡，越遠離中心圖案縮得越小（見下圖）。這些‘模塊化’的函數（即模函數，modular function）在數論研究中可是立下了不少汗馬功勞——就比如在1994年數學家安德魯·懷爾斯（Andrew Wiles）證明費馬大定理（Fermat’s Last Theorem）的過程中，模函數就起到了決定性的作用。“任何時候如果有人告訴你數論領域有了新的巨大突破，那麼這個結論十有八九是和模函數相關的。” 卡赫魯這樣告訴我們。

【圖注】模函數圖像呈現出瓷磚似的的重複樣式；

就像聲波一樣，J函數顯示出的重複模式也可以被分解爲一系列正弦波，而函數的係數就是正弦波的振幅，如果用聲波作比，係數代表的就是我們感知到每一個頻率聲音的響度。（對於學過高等數學的讀者，事情就比較簡單了，這就是J函數的傅里葉展開係數。）好了，說到這裡現在我們可以將J函數和魔羣聯繫起來了，麥凱正是通過這些展開的函數係數找到了J函數和魔羣之間的關係。

早在20世紀90年代，以耶魯大學伊戈爾·弗倫克爾（Igor Frenkel）、羅格斯大學詹姆士·萊彼斯基（James Lepowsky）和瑞典隆德大學的阿恩·摩爾曼（Arne Meurman）這三位數學家的工作爲基礎，博赫茲（上文中提到的魔羣月光的證實者）通過一個特定的弦理論模型讓麥凱的發現有了實在的意義。在這個弦理論模型中，J函數和魔羣同時起到了作用——J函數的係數決定着弦在每個能級（energy level）上振動方式的數目，而魔羣則約束着模型在這些能級上的對稱性。

這個發現給了數學家們一個全新的思維角度，即利用J函數去研究讓人頭腦爆炸的魔羣——畢竟J函數的係數比起階數巨大的魔羣，計算起來還是要簡單得多。“數學其實是一門研究‘造橋’的學科，數學家們尋找不同理論之間的聯繫橋樑，然後把複雜麻煩的那個，用簡單清晰的另一個替代。”鄧肯向我們這麼解釋，“只是有時候這些‘橋樑’實在好用得過頭，以至於人們在找到足夠證據確信它能夠使用之前，它看起來就像是某種瘋狂的妄想。”

“新月”朦朧

正當數學家們忙於探索“魔羣月光猜想”的衍生分支時，弦物理學家們卻似乎將注意力集中到了一個完全不同的問題上：他們試圖弄清弦所存在的微小維度的幾何結構。不同的幾何結構決定着弦的不同振動方式，就像如果我們調整一面鼓的鼓面鬆緊程度，鼓聲的音高也會隨之改變。數十年間，物理學家們一直苦苦探求，想要找到可以產生宏觀（即在真實世界中可以觀察到的）物理現象的幾何結構。

在一些最有希望的“候選結構”中，一類重要的組成部分便是一系列四維流形，人們把這些流形統稱爲K3曲面。卡赫魯告訴我們，與博赫茲備受冷落的弦論模型形成鮮明對比的是，K3曲面幾乎充斥着所有的弦理論教材。

關於K3曲面的幾何結構是如何決定弦在每個能級上振動方式的數目，科學家們還知之甚少，不過物理學家們給出了一個較爲狹義的方程，這個方程可以解出所有K3曲面中某些特定物理狀態的個數。2010年，三位弦理論學家——日本京都大學的江口徹（Tohru Eguchi）、加州理工學院的大慄博司（Hirosi Ooguri）和日本東京大學的立川裕二（Yuji Tachikawa）發現，如果把上述狹義方程以某種特定的形式寫出，與魔羣類似的另一個“怪胎羣”——擁有將近2.5億個元素的馬提厄24羣（M24, Mathieu 24 Group）——中的一些係數就會突然出現。也就是說，這三位物理學家發現了一個新的“月光猜想”。

這一次，物理學家們和數學家們終於殊途同歸了。“那時我參加了不少會議，幾乎所有人都只在討論新發現的‘馬提厄月光猜想’。”馬普數學研究所主任扎吉爾說道。

在扎吉爾當時參加的諸多會議之中，有一場於2011年7月在蘇黎世舉辦。鄧肯的一封電子郵件記錄了當時的情況：在會議時，扎吉爾給他看了“一張滿是數字的紙”。“扎吉爾那時正在研究一類與模函數密切相關的“類模”形式（mock modular forms），他指着那堆數字裡的某一行，然後問我這些數字是不是和哪個有限羣有關——我想他一開始應該只是想和我開個玩笑。”鄧肯這麼寫道。

鄧肯並不能確定扎吉爾指出的那行數字是否暗藏玄機，但巧的是，他認出了紙上的另一行數字：這些數字似乎都是一個被稱作“M12”的羣的階數。興致沖沖的鄧肯馬上拉來了程之寧，兩人一起聚精會神地研究扎吉爾的那張紙。很快，這兩人，連同傑弗裡·哈維就逐漸意識到，魔羣外的“月光猜想”根本就遠不止M24這一個例子。同時，他們還發現，補全這張“月光寶圖”的線索其實就暗藏在某位傳奇數學人物的手記當中，而更有趣的是，這篇手記還有着近百歲的“高齡”。

月光伴影

1913年，英國數學家哈代（G.H.Hardy）收到了一封特殊的信件，寄信人是一名來自印度馬德拉斯的會計職員，在信中，這名職員向哈代闡述了他自己發現的一些數學公式。在這些公式裡，一大半是陳詞濫調，還有一些呢，完全就是錯誤的，但是在這封信的最後一頁寫下的三個公式，讓哈代的心狠狠地揪了一下。“這三個公式必須是正確的。”哈代回信道，一邊迅速地邀請這位名叫斯里尼瓦瑟·拉馬努金（Srinivasa Ramanujan）的會計職員前來英國，“否則沒有人能有這樣的想象力去發明它們。”

拉馬努金的出名之處在於他似乎總能憑空推導出所有的數學關係，而且他確信自己的許多發現都要歸功於在他腦海中頻頻浮現的印度女神娜瑪卡爾（Namagiri）。類似於大多數天才數學家，他的數學生涯同樣悲劇性地短暫，1920年，年僅32歲的他已在印度臥牀不起，瀕臨死亡的邊緣。然而在這樣的時刻，他居然還寫信給哈代告知他自己又發現了一種被他命名爲“類θ”的數學函數（mock theta function），而這個函數，用拉馬努金自己的話來說，“極其優美地”融入了數學的世界。拉馬努金在信中列舉了17個這些函數的例子，但並沒有解釋它們的共性。這個問題在之後的80多年間一直都沒有得到解答，直到2002年桑德·祖格思（Sander Zwegers）發現這17個例子其實都是類模形式的樣例。祖格思後來成爲了扎吉爾的研究生，現在正在德國科隆大學擔任數論教授。

在蘇黎世的“月光猜想”會議結束之後，程之寧、鄧肯和哈維逐步發現M24月光猜想只是23個不同月光猜想的其中之一，這些月光猜想中的每一個都聯繫着一個羣的特殊階數和一個類模形式的係數——就像魔羣月光猜想把魔羣和J函數聯繫起來一樣。同時研究者推測，每個月光猜想都存在一個類似於魔羣月光情況的弦理論模型，其中類模形式確定弦狀態數，羣決定模型的對稱性。由於每一個類模形式都有其相關對應的模函數，所以模函數就像類模形式的“影子”；爲了凸顯兩者的這種特性，三人將他們的猜想命名爲“伴影月光猜想”（Umbral Moonshine Conjecture）——英文中使用的單詞Umbra是“影子”一詞的拉丁文。而神奇的是，拉馬努金的憑空預言又再一次被證實，猜想中的許多類模形式都符合他信中的17個特殊樣例。

更離奇的是，博赫茲更早的有關魔羣月光的證明竟然也是建立在拉馬努金的工作之上：組成該證明過程核心部分的代數對象，其實是在弗倫克爾、萊彼斯基和摩爾曼三人研究拉馬努金的三個公式（就是拉馬努金寫給哈代的第一封信中震驚哈代的那三個）的過程中被發現的。“兩封信件居然就構成了我們理解‘月光猜想’的全部基石，這簡直太奇妙了，”美國埃默裡大學的數學家肯·小野（Ken Ono）不禁感嘆，“缺少了任何一封，我們都無法完整地寫下這個‘故事’。”

怪獸在哪裡？

在arxiv.org上新發表的論文中，鄧肯、小野和小野的研究生邁克爾·格里芬（Michael Griffin）提出了一系列“伴影月光猜想”的運算證據。伴影月光的其中之一——M24伴影月光猜想在這之前已經被加拿大阿爾伯塔大學的特里·甘農（Terry Gannon）所證明。這次的全新分析僅爲物理學家們提供了一些線索，提示他們該從弦理論的何處去尋找將對稱羣和類模形式統一化的鑰匙。話雖如此，但哈維依舊認爲數據驗證的大方向是正確的。“我們已經看到了所有的結構，它是那麼複雜、那麼引人困惑、卻又是那麼的讓人想去探尋它所有的奧妙——很難想象沒有真理隱藏其中，”他繼續說道，“提供數學上的運算證據就是提供了一些堅實可靠的工作成果，人們可以藉此認真思考。”

以“伴影月光猜想”爲基礎的弦理論可能已經“不僅僅只是某種簡單意義上的物理理論，極有可能有着特殊的重要意義，”程之寧給出了這樣的評價，“它暗示着在K3曲面這樣的物理概念之中，一種特殊的對稱性也在扮演着某些作用。”而專門研究K3曲面的研究者們卻還沒有發現這種對稱性，她接着補充：“月光猜想給這個學科帶來了新的可能，或許存在某種我們還未發現的，更好的研究該理論的方法。”

讓物理學家們感到激動人心的還不止這一點，他們推測“月光猜想”還很可能與量子引力（quantum gravity）相互關聯。量子引力是一門還未完全成型的物理理論，在理論上可以統一廣義相對論和量子力學。2007年，普林斯頓高等研究院物理學家愛德華·威滕（Edward Witten，1990年菲爾茲獎得主，唯一獲得這項榮譽的物理學家）推斷在“魔羣月光”中觀測到的弦理論能夠爲構建三維條件下的量子引力理論提供新的途徑。考慮到在該量子引力理論中194個可被自然歸類的普通羣對應着194種不同類型的黑洞，以此類推，“伴影月光猜想”也可能會讓物理學家們衍生出相似的推測，帶給他們研究量子引力理論的全新契機。“這一領域在未來將會大放異彩。”鄧肯毫不吝惜自己對這項研究的看好。

扎吉爾說：“新發表的‘伴影月光猜想’的數據證據就像在火星上尋找生命，我們雖然沒有觀察到實物，但我們找到了‘他’的足跡，所以我們知道‘他’就在那裡。”扎吉爾說道。現在的問題是，研究者們必須找到那隻生命的實體——所幸弦理論爲他們照亮了前路。“真想真正觸摸到‘它’。”扎吉爾無比期待地說道。雖然“怪獸”與“月影”難以捉摸，但在這樣一羣數學家和科學家們的身上，閃現着‘真理追求者’的動人微光。

撰文 Erica Klarreich

翻譯 葉宣伽

審校 胡家僖