第203章 兩條不同的路
打發走四名學生後，徐川再度站到了費弗曼教授抒寫數學的黑板前。
N-S方程，全名-納維-斯托克斯方程，是一個描述粘性不可壓縮流體動量守恆的運動方程。
廣義上來說，它並不是一個方程，而是數個方程組成的一個方程組。
比如由納維在1827年最先提出粘性流體的運動方程；
比如泊松在1831年提出可壓縮流體的運動方程；
亦或者聖維南與斯托克斯在1845年獨立提出粘性係數爲一常數的形式，都稱爲Navier-Stokes方程。
這些方程反映了粘性流體流動的基本力學規律，在流體力學中有十分重要的意義。
但它的求解非常困難和複雜，在求解思路或技術沒有進一步發展和突破前只有在某些十分簡單的特例流動問題上才能求得其精確解。
截止到目前，數學界對其的推進也只不過是‘在給定的初始值的某種範數適當小，或流體運動區域適當小的假設條件下，N·S方程的整體光滑解的存在”這一步而已。
這對於整體的NS方程來說，幾乎可以說完全沒有什麼推進。
畢竟當雷諾數Re≥1時，繞流物體邊界層外，粘性力遠小於慣性力，方程中的粘性項幾乎可以忽略。
而忽略掉了粘性項後，N-S方程可以簡化爲理想流動中的歐拉方程。
如果是單純的對歐拉方程進行求解的話，並不難。
但很顯然，這種地步的求解，並不符合徐川對於NS方程的要求。
對於N·S方程而言，他不要求完全解決掉這個問題，去求證出解的光滑性，也不夢想能計算出最終解。
但至少，他想要做到能在給定一定的初始條件和邊界條件下，可以確定流體的流動。
這是控制可控核聚變反應堆腔室中超高溫等離子體流動的基礎要求。
如果這個都做不到，後續的湍流模型和控制系統那就更別想了。
而費弗曼叫教授羅列在眼前黑板上的這些算式，能爲推進到這一步帶來希望。
如果能解決掉這個等譜問題，他和費弗曼就能將NS方程就能往下推進一小步。
至少，能做到在曲面空間中，給定一個初始條件和邊界條件，確定解的存在並且光滑。
別小看只是一小步，但數學界用了一百五十年的時間都沒有的做到過。
所以徐川迫切的希望能夠解決這個問題。
站在黑板前，徐川沉思了良久，最終依舊是搖了搖頭。
對於等譜非等距同構猜想，他暫時並沒有什麼想法，無論是拉普拉斯算子還是橢圓算子，亦或者有界連通區域入手，他都看不到什麼希望。
至少，這些方向並沒有給他帶來什麼讓人眼前一亮的想法或者思路。
搖了搖頭，徐川重新回到了辦公桌前，暫時放棄掉去等譜問題的突破，開始整理這段時間和費弗曼的交流。
或許費弗曼說的沒錯，靈感說不定就在整理資料的自己冒出來了呢？
但遺憾的是，這一預言的靈感直到他將思路和想法整理完畢也沒有冒出來。
好在他並不是一個急性子，長期的科研經歷讓徐川知道，越是面對這種世界級的難題，越是要沉住氣穩住心才行。
一個人在急迫，慌亂的時候，做出的選擇和決定，不說百分百都是錯的，但選錯的概率，無疑是相當大的。
最好的辦法，就是理清思路，從基礎做起了。
解決問題要找關鍵，而解決數學問題的一種方法是將它們分解成更小、更易於管理的部分。
這種方法被稱爲“分而治之”。
通過將問題分成更小的部分，可以讓它變得更容易理解和解決。
此外，將問題分成更小的部分可以幫助識別在從整體上看問題時可能不會立即顯現的模式和關係。
當然，這種方法並不適用於所有的數學猜想。
因爲有些數學猜想無法被拆分。
但對於等譜非等距同構猜想而言，它並不屬於無法被拆分的問題，它的基礎構建於近代微分幾何上的數學難題，融合了譜理論與等譜問題、曲率與拓撲不變量等方向的數學知識。
在這個基礎上，徐川將其拆分成了原始的數學架構，然後從這輩子最熟悉的譜理論與等譜數學出發，去一點點的完善和解決的這些問題。
這種手段在物理領域也很常見，一般說來，複雜的物理過程都是由若干個簡單的“子過程”構成的。
因此，分析物理過程的最基本方法，就是把複雜的問題層次化，把它化解爲多個相互關聯的“子過程”來研究。
這種方法不僅僅在初高中大學這種學生時代有用，哪怕進入了研究生，博士生，也依舊能適應於各種物理領域。
而數學的拆分法，和物理的分析法，有着異曲同工之妙。
所以徐川用起來還是挺得心應手的，至少需要花費大量時間去學習一種新的數學研究方法。
接下來一週多的時間，徐川都在專心嘗試用這種方法去解決等譜非等距同構猜想，而普林斯頓每週的授課，他都交給了較爲年長一些的羅傑·迪恩。
今年已經三十一的羅傑·迪恩在意呆利米蘭理工大學已經快成了博士學位，甚至畢業論文都已經準備好了，來普林斯頓是進修的，代替他給那些本科生講課並沒有什麼問題。
當然，徐川也不白嫖人家的勞動力，儘管按照學術界的潛規則，他白嫖也沒關係，但他還是給這個學生在普林斯頓申請了一份實習助理的職位。
有這份職位，羅傑·迪恩能享受普林斯頓的一些補助，雖然並不多，但足夠支撐他的日常生活了。
而且有這份經歷，日後羅傑·迪恩如果申請普林斯頓的助理教授的話，會容易不少。
這也算是徐川給這位學生的一些報酬，畢竟他不是那種無良各種壓榨學生的導師，也做不出白嫖學生勞動力的事情。
當然，並不是所有人都會這樣，對於一些博士生導師而言，安排自己帶的學生代替自己去上課是理所當然的事情。
報酬什麼的，恐怕他們從未想過。
甚至還存在極少部分的導師，恨不得佔據學生自己獨立研發的每一份成果。
辦公室中，已經十多天沒有過來的費弗曼教授再次來到了這邊。
“費弗曼教授。”
徐川打了個招呼，讓阿米莉亞泡了兩杯咖啡過來。
“謝謝。”從阿米莉亞手中接過咖啡後，費弗曼吹了吹上面的浮沫，小小的喝了口後，看向徐川：“徐，關於上次的那個等譜問題，我或許有了一點思路。”
“你說。”
徐川點了點頭，示意自己在聽。
其實不光是的費弗曼教授有了思路和靈感，這些天他一直都在拆分研究等譜非等距同構猜想，心中也有了一些想法。
費弗曼沉吟了一下，組織了一下思路後開口道：“研究一個流形的譜是黎曼幾何的一個基本問題.對於緊緻黎曼流形來說，所有的譜都是點譜，即拉普拉斯算子的所有的譜都由那些重數爲有限的特徵值組成，而對於完備非緊流形來說，情況要複雜的多。”
“假設Ω是 Cn的一個開區域， u是定義在Ω上的一個光滑函數， u的 Hessian矩陣爲（u/zjzk），其特徵值爲λ1，λ2λn，定義復 Hessian算子爲.”
“通過光滑函數逼近，使 Pm中也包括非光滑函數.稱 u∈ Dm，若存在一個正則的Borel測度以及一個單調下降的光滑函數序列{uj} Pm使得 Hm(uj )→，並且記爲 Hm(u)=”
“.”
“如果從這方面入手的話，或許有希望能深入到等譜非等距同構猜想中。”
“不知道你怎麼看？”
將自己的思路說出來後，費弗曼期待的看向徐川。
徐川沒有立即回答，手指在辦公桌規律的敲擊着，他從費弗曼的話語中，看到了另一條通向等譜問題的道路。
一類二階完全非線性偏微分方程的格林函數，這是一條他此前沒有想過的道路。
但這條道路從費弗曼的口中說出來，他敏銳的察覺到似乎同樣可行。
沉思了一會，徐川停下敲擊紅木辦公桌的手指開口道：“從非線性偏微方程方向出發，利用狄利克雷函數來研究等譜問題，這一方向是我沒有想過的。”
“不過單從直覺來看，這或許是條可行的道路，完全值得一試。”
聞言，費弗曼嘴角揚起了一絲笑容：“那讓我們出發吧。”
徐川笑了笑，道：“不急，關於等譜非等距同構猜想問題，我這邊也有一些想法，你要不要聽聽？”
費弗曼眼神中劃過一絲驚訝，不過很快就被好奇覆蓋了，他迅速回道：“當然。”
徐川起身，走到辦公室的邊緣，將之前使用過的黑板從角落中拖了出來，拾起一支粉筆，整理了一下思路後在上面寫道：
“（p）{-△u=λu，x∈Ω；u=0，x∈Γ1；δu/δn=0，x∈Γ2”
“這裡Γ是Ω的邊界，並且Γ=Γ1UΓ2，Ω是Rn中有界非空開集，或一般的具有限勒貝格測度的n維區域，△是Laplace算子，T1和T2都非空.我們定義”
“譜譜б(P)是離散的，按其特徵值的有限重數可排列成0≤λ1≤λ2≤…≤λk≤…並且當k→00時，入k→0，定義N(O，-λ，λ)=#{k∈N]ょ.
“.”
辦公室中，徐川手持粉筆在黑板上書寫着自己的思路與想法，費弗曼教授則站在身後觀看着。
到了他們這個層次的數學家，並不需要報告者過多的詳細介紹自己的想法，從書寫出來的公式中，完全就可以看出來。
而隨着徐川的書寫，費弗曼的眼神也逐漸明亮了起來，從一開始的好奇，到驚訝，再到驚愕瞭然。
正如徐川從他的述說中看到了一條通向等譜非等距同構猜想問題的道路一樣，他也從徐川書寫中看到了一條完全不同的道路。
這條思路，同樣有可能解決掉阻礙他們前進的困難。
不！
如果單從可能性上來說，黑板上的那條思路，解決等譜問題的可能性更大。
畢竟他只是提出了一條看似可行的道路，而徐川卻在另一條道路上已經做了開闢。
這就好比一個人指着一塊空地說我要在這裡蓋一棟房子，而另一個人已經用挖機將這塊空地打理平整了一樣。
兩方同樣是在空地上蓋房子，但後者給人的可信度遠高於前者。
將這些天腦海中的想法和整理出來的思路重述到眼前的黑板上後，徐川轉身看向費弗曼。
“這就是我的思路，通過構造一個兩兩不相交的有界開域的集合，然後再利用拉普拉斯算子來完成對於R2和R3兩個混合邊值條件等譜非等距同構區域的構造。”
“或許它同樣是一條可以通向解決等譜問題的道路。”
“不知道伱怎麼看？”
費弗曼提出的想法和他本身想到的思路是兩條完全不同的路，但徐川並不覺得費弗曼是錯的。
當然，他也不覺得他自己的想法是錯的。
殊途同歸，對於這種頂級的數學難題而言，它本身涉及的東西就很多，根本就沒有什麼解決問題的唯一方法。
它不像1+1=2永遠恆定一樣，無論是從狄利克雷函數和非線性偏微分方程出發，還是構造有界開域集合，利用拉普拉斯算子來完成非等距同構區域的構造，兩者都是解決問題的方法。
儘管這兩種方法的差別相差很大。
但數學發展至今，邊界早已模糊。
數論、代數學、幾何學、拓撲學、數學分析、.函數論、常微分方程、偏微分方程這些數學的分類早已是你中有我，我中有你。
如今的數學，從一個看似不相關的領域出發，卻解決另一個領域的重大難題早已不是什麼稀奇的事情。
甚至還有很多的數學家，在專門嘗試去將兩個不同的領域連接起來。
亦如教皇格羅滕迪克奠定現代代數幾何學基礎後，無數數學家前仆後繼的想要完成代數與幾何的大統一一樣。
(本章完)